LLC理论基础与Matlab仿真模型

电感电容 (LC) 谐振原理及其 LLC 仿真应用

在开关电源（尤其是 LLC 谐振变换器）的设计中，理解电感（L）与电容（C）的谐振特性以及传递函数是核心基础。本章将从严格的数学公式推导出发，剖析 RLC 串联谐振原理，并进一步扩展到 LLC 全桥谐振电路的仿真应用。

核心参数设定与谐振频率计算

在交流电路中，电感和电容对电流的阻碍作用分别称为感抗（$X_L = 2\pi f L$）和容抗（$X_C = \frac{1}{2\pi f C}$）。当两者大小相等、相互抵消时，系统发生谐振。

根据电路设计需求，我们设定以下初始物理参数：

输入电压：$V_{in} := 220$ V
谐振电感：$L_r := 0.519 \cdot 10^{-3}$ H
谐振电容：$C_r := 19.515 \cdot 10^{-9}$ F
负载电阻：$R_o := 50$ $\Omega$

由此可以推导出谐振频率 ($f_r$) 的理论计算公式，并代入具体参数：

$f_r := \frac{1}{2\pi\sqrt{L_r \cdot C_r}} = 5.001 \times 10^4 \text{ Hz}$

计算结果表明，该 LC 网络的谐振频率约为 50 kHz。以下为基于上述参数的基础谐振原理仿真图：

谐振原理仿真图

传递函数的严格推导

为了精确分析不同频率下的输出电压变化，我们需要建立数学模型。将 RLC 串联电路视为一个分压网络，输出电压 $V_o$ 取自负载电阻 $R_o$ 两端。

频域 (s域) 传递函数

根据串联分压原理，其复频域（s 域）的传递函数 $G_o(s)$ 表达式为：

$G_o(s) := \frac{V_o}{V_{in}} = \frac{R_o}{R_o + s \cdot L_r + \frac{1}{s \cdot C_r}}$

转换为具体频率 (f域) 函数

令复频率 $s = 2\pi f \cdot i$（其中 $i$ 为虚数单位），并将 $R_o = 50$ 代入分子，即可得到用于频域分析的传递函数公式：

$G_o(f) := \frac{50}{R_o + 2\pi \cdot f \cdot i \cdot L_r + \frac{1}{2\pi \cdot f \cdot i \cdot C_r}}$

频率改变对输出增益的影响

通过改变输入交流电压源的频率 $f$，我们可以直观地观察到传递函数增益的变化。从下方的增益图中可以看出，增益曲线呈现明显的单峰特性，峰值恰好落在计算出的 50 kHz 谐振频率点附近。

增益图

处于谐振频率点 (f = 50 kHz)

当输入频率 $f = 50 \cdot 10^3$ Hz 时，感抗与容抗完全抵消。网络等效阻抗为 0，整体表现为纯阻性。此时传递函数的幅值（增益）达到最大值 1：

$|G_o(50 \cdot 10^3)| = 1$

物理意义：输入电压实现了 100% 的无损传递（$V_{out} \approx V_{in}$），且输出电压与电感电流完全同相位。

谐振增益为1

偏离谐振频率点 (f = 100 kHz)

当电源频率升高至 $100 \cdot 10^3$ Hz 时，此时的感抗远大于容抗（$X_L > X_C$），LC 谐振网络整体表现为感性，对电流起到了强烈的阻碍作用。

根据仿真和计算，此时的增益大幅跌落至 0.2 左右：

$|G_o(100 \cdot 10^3)| = 0.2$

谐振增益为0.2

LLC 谐振变换器仿真模型

将上述 LC 谐振原理应用到实际的直流-直流（DC-DC）变换器中，就构成了工业界广泛应用的 LLC 谐振电路。

主电路拓扑结构

在完整的 LLC 仿真模型中，左侧的 DC 直流电压源模拟的是前级 PFC 输出的 380V 母线电压。为了给后方的 LC 谐振网络提供交流激励，我们通过四颗 MOSFET 组成了一个全桥逆变网络。

LLC谐振电路图

LLC谐振电路仿真图

驱动信号逻辑

四颗 MOS 管将 380V 直流电高频斩波为交流方波。其开关驱动逻辑如下：

开关 1 与 4：控制信号完全相同，同步导通与关断。
开关 2 与 3：控制信号完全相同，同步导通与关断。
互补关系：开关 1 所在的桥臂与开关 2 所在的桥臂呈现 180 度的互补关系（实际工程中会带有死区时间）。

LLC谐振电路仿真图开关图

LLC 输入电压与电感电流波形

经过全桥网络的斩波，原本的 380V 直流被转化为幅值为 $\pm 380V$ 的高频方波电压（蓝色波形，即 LLC 网络的输入电压 $V_{in}$）。

方波电压激励后方的 LLC 谐振网络，该网络起到了带通滤波器的作用，有效滤除了高次谐波。最终流过电感的电流呈现出非常平滑的近似正弦波形态，从而实现了能量的高效、低噪声传递。

LLC谐振电路仿真图LLC输入电压

软开关 ZVS 与 ZCS 原理及其在 LLC 中的应用

在 LLC 谐振变换器中，当输入电源的频率等于 LC 固有的谐振频率时，系统达到谐振状态，此时输入电压等于输出电压。LLC 架构之所以被广泛应用且以高效率著称，核心原因在于它能巧妙地利用软开关技术：原边开关管实现 ZVS（零电压开通），副边整流管实现 ZCS（零电流关断）。

下面我们将从 MOS 管的基本开关过程入手，详细剖析这两种软开关技术的原理。

MOS 管硬开关开通过程分析

在理解软开关之前，我们先来看看传统的“硬开关”是如何工作的。

对于一个 MOSFET：

$V_{GS}$：栅源驱动电压。
$I_G$：驱动电流。
$V_{DS}$：漏极到源极的电压。
$I_D$：流过漏极的电流。
$V_{TH}$：开启阈值电压。当 $V_{GS}$ 达到此值时，MOS 管的 D、S 极之间开始导通。

开通过程拆解

初始状态：MOS 管处于关断状态。此时 $I_D = 0$，但 $V_{DS}$ 承受着很高的电压。
充电准备：当 $V_{GS} > 0$ 时，驱动电流开始给栅源电容 $C_{GS}$ 充电。
开始导通：当 $V_{GS}$ 爬升至阈值 $V_{TH}$ 时，MOS 管开始慢慢导通。此时 $I_D$ 从 0 开始迅速上升。但在这一阶段，$V_{DS}$ 的电压并没有立刻下降。
米勒平台：当 $V_{GS}$ 继续上升并进入“米勒平台”区域时，$V_{DS}$ 才开始急剧下降。
开通损耗产生：在上述第 3 和第 4 阶段的交叠区域内，$V_{DS}$（高电压）与 $I_D$（大电流）同时存在。两者相乘产生极大的瞬间功率，这就是所谓的开通损耗。

MOS开通图

ZVS（零电压开通）原理

为了消除上述的开通损耗，ZVS（Zero Voltage Switching）技术应运而生。

ZVS 的核心思想：在 MOS 管真正导通（即 $I_D$ 准备大于 0，进入上述阶段 2）之前，提前想办法把漏源极电容 $C_{DS}$ 里的能量抽干，强制让 $V_{DS}$ 降为 0。

这样一来，当 MOS 管由于驱动信号而导通、电流 $I_D$ 开始上升时，它两端的电压 $V_{DS}$ 已经是 0 了。电压为 0 乘以任何电流等于 0，开通损耗自然就被完美消除了。

ZCS（零电流关断）原理与关断过程

硬关断同样会产生损耗。我们先看常规的关断过程：

准备关断：此时 MOS 管处于导通状态，$V_{DS} \approx 0$，$I_D$ 为稳态大电流。
米勒平台出现：当驱动电压 $V_{GS}$ 下降到米勒平台时，$V_{DS}$ 开始迅速上升。
电流下降：只有当 $V_{DS}$ 上升到最大值、米勒平台结束之后，$I_D$ 才会开始往下走。
彻底关断：当 $V_{GS}$ 降到阈值 $V_{TH}$ 以下时，$I_D$ 彻底降为 0。
关断损耗：在 $V_{DS}$ 上升和 $I_D$ 下降的重叠期，电压和电流同时不为 0，产生了关断损耗。

MOS关断图

ZCS 的核心思想：ZCS（Zero Current Switching）就是要打破这个重叠。它的目标是在 MOS 管（或二极管）开始关断动作、电压准备上升之前，提前通过谐振网络让流过它的电流 $I_D$ 自然归零。

这样在器件阻断电压上升时，没有电流流过，从而避免了关断损耗。在 LLC 电路中，副边二极管正是利用这种特性实现了 ZCS。

高频变压器等效模型

要实现上述的软开关和谐振，LLC 电路重度依赖高频变压器自身的寄生参数。一个真实的高频变压器绝不是理想的：

铜损与漏感：变压器由导线绕制，导线必然有电阻（铜损）。由于磁通无法 100% 耦合，加上制作工艺的限制，必然存在漏感 ($L_p, L_s$)。
寄生电容：线圈匝与匝之间、层与层之间、绕组与磁芯之间都会形成微小的寄生电容 ($C_{dp}, C_{ds}$ 等)。
激磁电感与铁损：变压器需要有激磁电感 ($L_m$) 来建立磁场才能工作，同时磁芯的磁滞和涡流效应会体现为激磁电阻（铁损 $R_c$）。

高频变压器一般功率等效电路

在 LLC 谐振变换器的实际分析中，为了突出核心谐振元件，我们通常会将副边参数折算到原边，并忽略掉对谐振影响较小的电阻、原边并联电容和铁损电阻，从而得到一个简化的等效电路：

高频变压器简化等效电路

在这个简化模型中，变压器的漏感直接被利用作为谐振电感 $L_r$，而激磁电感 $L_m$ 也参与到谐振过程中，配合外部的谐振电容 $C_r$，共同构成了 LLC 变换器的核心。

全桥 LLC 变换器工作原理与模态分析

在深入了解 LLC 的软开关原理后，我们来看看全桥 LLC 变换器在实际周期内是如何运转的。

关于副边的整流拓扑，通常有一个工程经验：如果是输出 48V 等相对较低的电压，副边常采用中心抽头整流（如我们在许多原理图上看到的两个二极管构成的结构）；但如果输出是 400V 这种大电压，考虑到二极管的反向耐压问题，副边则必须采用全桥整流。

LLC谐振电路图

LLC 的两个双谐振频率

LLC 变换器之所以叫“LLC”，是因为它包含两个电感（谐振电感 $L_r$、激磁电感 $L_m$）和一个谐振电容 $C_r$。这决定了它拥有两个谐振频率：

1. 第一个谐振频率（主谐振频率）
当变压器副边导通时，输出电压将变压器原边钳位，$L_m$ 两端电压恒定，不参与谐振。此时只有 $L_r$ 和 $C_r$ 参与谐振：

$f_{r1} = \frac{1}{2\pi\sqrt{L_r \cdot C_r}}$

2. 第二个谐振频率
当副边电流降为 0（二极管关断）时，变压器原边不再被钳位，$L_m$ 释放出来，与 $L_r$ 串联后共同与 $C_r$ 发生谐振。此时的谐振频率计算如下：

$f_{r2} = \frac{1}{2\pi\sqrt{(L_r + L_m) \cdot C_r}}$

疑问解答：为什么没有 $L_m$ 单独和 $C_r$ 谐振的频率？
从拓扑结构可以看出，$L_r$（无论是外置电感还是变压器漏感）与变压器的激磁电感 $L_m$ 在物理回路上是永远串联的。电流从电源流出，必须先经过 $L_r$ 才能到达 $L_m$。因此，只要 $L_m$ 参与谐振，它就必然是带着 $L_r$ 一起玩（即 $L_r + L_m$），电路中根本不存在只有 $L_m$ 和 $C_r$ 构成回路的物理条件。

工作模式 1 详细模态分析（$f_s < f_{r1}$）

我们以开关频率小于主谐振频率（$f_s < f_{r1}$）的经典工作模式为例。
在分析之前，牢记一个核心电流关系：谐振电感电流 = 激磁电流 + 副边折算过来的负载电流（即 $i_{Lr} = i_{Lm} + i_{p}$，对应副边电流 $i_{DR}$）。

工作模式总图

$t_0$ 之前（副边电流为 0）

在 $t_0$ 时刻到来前，谐振电流已经下降到等于激磁电流（$i_{Lr} = i_{Lm}$），这意味着副边电流 $i_{DR} = 0$。此时变压器副边停止向负载输送能量，负载 $R_{Ld}$ 完全由输出滤波电容 $C_f$ 供电。

$t_0 - t_1$ 阶段（死区时间，ZVS 的关键）

这是一个极短的死区时间。此时 $Q_1, Q_2, Q_3, Q_4$ 四个管子的驱动信号全为低电平（全关断）。

状态突变：由于电感电流不能突变，此时的谐振电感 $L_r$ 就像一个恒流源。
电容充放电：在 $t_0$ 之前，$Q_2, Q_3$ 是导通的（或刚刚关断），而 $Q_1, Q_4$ 是关断的，所以 $C_1, C_4$ 两端承受着输入电压 $V_{in}$。在死区期间，电感电流为了维持原方向，开始抽取 $C_1, C_4$ 的电荷（给 C1、C4 放电），并将这些能量充入 $C_2, C_3$（给 C2、C3 充电）。
达成目标：到了 $t_1$ 时刻，$C_1, C_4$ 的电量被放空，两端电压降为 0。这就为下一时刻 $Q_1, Q_4$ 的零电压开通（ZVS）做好了完美铺垫。

$t_1 - t_2$ 阶段（主谐振能量传输）

ZVS 开通：$t_1$ 时刻给 $Q_1, Q_4$ 发送导通信号，因为此时它们两端电压已为 0，顺利实现 ZVS。桥臂中点电压 $V_{AB}$ 变为正的 $V_{in}$。
电流波形：副边二极管导通，输出电压被钳位折算到原边（$n V_o$）。激磁电感 $L_m$ 两端电压恒定，所以激磁电流 $i_{Lm}$ 呈线性上升。而谐振电感电流 $i_{Lr}$ 则是由于 $L_r$ 和 $C_r$ 的主谐振，呈现出平滑的正弦波上升趋势。

$t_2 - t_3$ 阶段（副边 ZCS 与第二谐振）

ZCS 关断：到了 $t_2$ 时刻，正弦变化的谐振电流 $i_{Lr}$ 刚好回落到与线性上升的激磁电流 $i_{Lm}$ 相等（$i_{Lr} = i_{Lm}$）。这意味着变压器不再传递能量，副边电流 $i_{DR}$ 降为 0。副边二极管在此刻实现了零电流关断（ZCS）。
模式切换：副边断开后，$L_m$ 不再被钳位，立刻加入谐振大军。电路进入由 $(L_r + L_m)$ 和 $C_r$ 组成的第二谐振状态。此时负载 $R_{Ld}$ 再次由输出电容 $C_f$ 孤独地供电。

$t_3 - t_4$ 阶段（下半周期的死区时间）

同理，这是下半个周期的死区。$Q_1, Q_4$ 关断，电感电流反向，开始给 $C_1, C_4$ 充电，并给下一时刻要导通的 $C_2, C_3$ 放电，准备迎接 $Q_2, Q_3$ 的 ZVS 开通。增加合理的死区时间来充分放电，是实现软开关的核心。

工作情况

核心总结

在看全桥 LLC 波形图时，只需抓住以下两个黄金判定标准：

ZVS（零电压开通）的判定：在死区时间（如 $t_0 - t_1$）内，只要保证谐振电感 $i_{Lr}$ 上还有足够大的电流（不为 0），就能把上一时刻管子的结电容充满，把下一时刻要导通管子的结电容放空。电容放空了，ZVS 就实现了。
ZCS（零电流关断）的判定：当谐振电流 $i_{Lr}$ 等于激磁电流 $i_{Lm}$ 时，根据变压器等效模型，流向副边的电流就为 0。副边二极管没有电流流过，自然而然就实现了 ZCS 关断，完美消除了反向恢复损耗。

全桥 LLC 变换器开环仿真模型与频率特性分析

为了直观验证 LLC 变换器的工作原理，我们搭建了全桥 LLC 的开环仿真模型。在这个全桥拓扑中，四个开关管交替导通，其桥臂中点电压 $V_{ab}$ 本质上等效于为后级的谐振网络提供了一个交流方波电压源。

通过调节给定的开关信号脉冲频率（$f_s$），我们可以清晰地观察到 LLC 网络在谐振点、低于谐振点以及高于谐振点三种典型状态下的软开关特性及输出表现。

仿真模型图

工作在谐振频率点 ($f_s = 50\text{kHz}$)

根据模型参数，LC 谐振网络的主谐振频率点为 50kHz。我们将开关信号的脉冲频率严格设定为 50kHz，此时 $V_{ab}$ 相当于一个 50kHz 的交流电源。

副边 ZCS（零电流关断）：当开关 1 和 4 打开时，谐振电流呈正弦态势上升。同时，副边电压折算到原边，将激磁电感钳位在一个固定电压上，导致激磁电流呈线性上升。当正弦变化的谐振电流回落并与线性上升的激磁电流完全相等时，意味着变压器不再传递能量，副边电流归零，从而完美实现了副边整流二极管的 ZCS。
原边 ZVS（零电压开通）：观察死区时间，由于此时谐振电流并不为 0，它能够抽干即将导通的 MOS 管的结电容，成功实现了源边的 ZVS。

通过下图的软开关细节放大可以看出：在开关管 4 的驱动脉冲到来、准备开通之前，管子两端的电压已经提前降为了 0。

交流电源频率为谐振频率的仿真结果

仿真ZVS软开效果

工作在低于谐振频率点 ($f_s = 40\text{kHz}$)

将开关频率下调至 40kHz 时，$V_{ab}$ 相当于一个 40kHz 的交流电源，系统运行在低于主谐振频率的区间。

此时，我们会观察到谐振电流波形出现了一段“平缓”的区域，其根本原因在于 LLC 独特的双谐振机制：

在前半段，只有 $L_r$ 和 $C_r$ 进行高频快速谐振。
当副边电流降为 0 后，钳位解除，原本不参与谐振的激磁电感 $L_m$ 被释放出来，与 $L_r$ 串联一同参与谐振。
由于 $L_m$ 的感值通常远大于 $L_r$（$L_m > L_r$），它内部储存了较多能量。谐振电感突然变大，意味着系统的震荡速度变慢、震荡周期变长。这种较大的电感量极大地限制了电流的变化率，导致此时的谐振电流 $i_{Lr}$ 变化非常缓慢，从而在波形上呈现出平缓的特征。

交流电源频率小于谐振频率的仿真结果

工作在高于谐振频率点 ($f_s = 150\text{kHz}$)

最后，我们将开关频率大幅上调至 150kHz，使其远高于系统的谐振频率。在此状态下，$V_{ab}$ 等效为 150kHz 的交流电源。

失去 ZCS 特性：虽然原边仍能实现 ZVS，但在高于谐振频率工作时，谐振电流由于周期过短，来不及回落到与激磁电流相等就被迫切换，导致副边电流无法自然降为 0，从而失去了副边 ZCS 特性。
感抗分压效应：当频率高于谐振点时，整个 LLC 谐振网络呈现出感抗特性。此时，LC 网络相当于一个分压器，这会显著降低实际加在变压器原边的电压。
输出降压验证：因为高于谐振频率时的 LC 分压效应，输出电压会变得比额定输入电压低。这也揭示了 LLC 变换器通过调整谐振频率即可改变副边输出电压的调压原理。在仿真中，假设变压器匝数比为 $1:N$，原边 380V 的电压除以 $N$ 后，理论上副边应得到约 41V 的电压。然而，正是由于 LC 分压的削弱，我们实际测得的副边电压仅为 17V 左右。

交流电源频率高于谐振频率的仿真结果

Vab交流电压源高于谐振频率时的副边输出结果

注意事项
会不会给管子放电放一半没放完就导通，这样还是没有完全实现ZVS?
很多论文都会写：
$t_{dead} \geq \frac{2C_{oss}V_{in}}{I_{res}}$
就是：
死区必须大于MOS输出电容放电所需要的时间。
这里：
$C_{oss}$ 越大 需要时间越长。
$V_{in}$ 越高 需要时间越长。
谐振电流越大 放电越快。
真正决定能不能放完的是：死区时间是否足够，以及谐振电流是否足够大。

全桥 LLC 变换器基本特性分析

在分析全桥 LLC 谐振变换器的特性时，我们通常采用一种工程上非常经典的近似方法——基波分析法（FHA, First Harmonic Approximation）。

在深入公式推导前，我们需要先理清 LLC 的两个谐振状态（这也是大家在学习时极易混淆的地方）：

当变压器副边有电流时：变压器原边电压被输出电压钳位在 $nV_o$，此时励磁电感 $L_m$ 两端电压固定，不参与谐振，只有谐振电感 $L_r$ 与谐振电容 $C_r$ 发生谐振。
当变压器副边没有电流时（例如 $i_{Lr}$ 下降到与 $i_{Lm}$ 相等时）：励磁电感 $L_m$ 解除钳位，此时 $L_m$、$L_r$ 与 $C_r$ 串联在一起共同参与谐振。

系统功能结构抽象

为了更清晰地理解，我们可以把一个完整的全桥 LLC 谐振变换器主电路划分为三个核心网络：逆变网络、谐振网络和整流滤波网络。

功能结构图

全桥 LLC 谐振变换器中，开关管 Q1&Q4 与开关管 Q2&Q3 交替互补导通，通过这种高频斩波，在 A、B 两端产生了一个幅值为 $V_{in}$ 的方波交流电压。

基波分析法（FHA）理论推导

直流电经过逆变网络形成的是方波信号，而根据傅里叶变换原理，任何一个周期性的方波信号都可以等效为无限个不同频率的正弦信号（基波 + 高次谐波）的叠加。

基波分析法

我们将 A、B 两端的方波电压 $v_{AB}$ 进行傅立叶级数展开，其表达式为：

$v_{AB} = \frac{4V_{in}}{\pi} \sum_{n=1,3,5}^{\infty} \frac{1}{n} \sin(n\omega_s t) \approx \frac{4V_{in}}{\pi} \sin(\omega_s t) = \sqrt{2}V_{AB1}\sin(\omega_s t)$

式中，开关角频率为：

$\omega_{s} = 2\pi f_{s}$

由此可得，$v_{AB}$ 基波分量的有效值大小为：

$V_{AB1} = \frac{2\sqrt{2}V_{in}}{\pi}$

基波分析法的核心思想：LLC 的谐振网络本质上是一个高频带通滤波器，它会让基波畅通无阻，同时极大衰减高次谐波。因此，我们可以直接用基波分量 $v_{AB1}$ 来代替原来的方波电压 $v_{AB}$ 进行后续分析。

电流波形

当 LLC 谐振变换器工作在谐振频率点附近时，整流滤波网络的输入电流可以近似看作是一个平滑的正弦基波分量，表达式为：

$i_p(t) = \sqrt{2}I_{p1}\sin(\omega_s t - \varphi)$

式中，$I_{p1}$ 为 $i_p$ 的有效值，$\varphi$ 为 $i_p$ 对 $v_{AB}$ 的相位差。

当 $i_p > 0$ 时，整流二极管 DR1 导通，变压器原边电压 $v_p = nV_o$；当 $i_p < 0$ 时，整流二极管 DR2 导通，$v_p = -nV_o$。对其进行傅立叶分解后，得到变压器原边电压的基波分量为：

$v_{p1}(t) = \frac{4nV_o}{\pi} \sin(\omega_s t - \varphi) = \sqrt{2}V_{p1}\sin(\omega_s t - \varphi)$

由此算出原边电压基波分量的有效值大小为：

$V_{p1} = \frac{2\sqrt{2}nV_o}{\pi}$

整流网络的电流经过输出滤波电容 $C_f$ 滤除高频分量后，流过负载电阻 $R_{Ld}$ 的直流分量等于 $I_o$：

$I_o = \frac{1}{T_s} \int_{0}^{T_s} |i_{sec}(t)| dt = \frac{1}{T_s} \int_{0}^{T_s} n|i_p(t)| dt = \frac{2\sqrt{2}n}{\pi} I_{p1}$

由此得到副边基波电流有效值：

$I_{p1} = \frac{\pi I_o}{2\sqrt{2}n}$

综合上述电压和电流的基波有效值，我们可以将复杂的整流滤波网络和负载等效为一个简单的纯阻性交流电阻 $R_{eq}$：

$R_{eq} = \frac{\frac{4nV_o}{\pi} \sin(\omega_s t - \varphi)}{\frac{\pi I_o}{2n} \sin(\omega_s t - \varphi)} = \frac{8n^2}{\pi^2} R_{Ld}$

全桥 LLC 谐振变换器的电压增益特性分析

通过抽取基波，复杂的非线性电路被成功“降维”，变成了下面这个简单的线性交流等效电路。

LLC等效电路

根据等效电路，利用阻抗分压原理，可得全桥 LLC 谐振变换器的交流电压增益为：

$H(j\omega_s) = \frac{V_{p1}}{V_{AB1}} = \frac{j\omega_s L_m // R_{eq}}{j\omega_s L_r + \frac{1}{j\omega_s C_r} + j\omega_s L_m // R_{eq}}$

我们定义全桥 LLC 谐振变换器的输入输出电压直流增益为 $M = \frac{nV_o}{V_{in}}$，经过变换可得：

$M = \frac{nV_o}{V_{in}} = \frac{V_{p1}}{V_{AB1}} = \frac{j\omega_s L_m // R_{eq}}{j\omega_s L_r + \frac{1}{j\omega_s C_r} + j\omega_s L_m // R_{eq}}$

为了让公式在工程设计中更具普适性，我们引入以下几个核心归一化参数：

电感比 $\gamma$（决定了调频范围的宽窄）： $\gamma = \frac{L_m}{L_r}$
品质因素 $Q$（反映了负载的轻重）： $Q = \frac{Z_r}{R_{eq}} = \frac{\sqrt{L_r / C_r}}{R_{eq}}$
归一化开关频率 $f_n$： $f_n = \frac{f_s}{f_r}$

将这些参数代入增益公式，最终可以得到全桥 LLC 谐振变换器的归一化电压增益函数表达式：

$M(f_n) = \frac{1}{\sqrt{\left(1 + \frac{1}{\gamma}\left(1 - \frac{1}{f_n^2}\right)\right)^2 + Q^2\left(f_n - \frac{1}{f_n}\right)^2}}$

这个电压增益函数是 LLC 参数设计的“灵魂”。它用最直观的数学语言揭示了：开关频率（$f_n$）、负载大小（$Q$）以及变压器电感设计（$\gamma$）是如何共同决定 LLC 变换器输出电压特性的。

全桥 LLC 变换器闭环仿真模型

在之前的诸多拓扑（如 Boost、Buck）中，我们通常采用 PWM（脉宽调制）来控制输出电压，即频率固定，通过改变占空比来调节能量。然而，在 LLC 谐振变换器中，控制方式发生了根本性的改变：我们采用的是 PFM（脉冲频率调制）。

在 LLC 闭环控制中，开关管的占空比始终固定为 50%，系统完全依靠调整开关频率来改变谐振网络的增益，进而实现输出电压的稳压控制。

VCO（压频变换器）的原理与自定义实现

要实现“通过控制信号改变频率”，我们需要一个核心器件：VCO（Voltage-Controlled Oscillator，压频变换器）。
它的工作逻辑非常简单：输入是电压，输出是频率。例如，其输入灵敏度（Input sensitivity）设为 1 Hz/V 时，只要给它输入一个 50k 的数值（电压），它就会输出一个频率为 50kHz 的正弦交流电，且输出交流电的幅值（Amplitude）设定为 1V。

由于新版 Simulink 中的部分默认 VCO 模块已被废弃，为了保证仿真的兼容性，我们可以自己手写一个 MATLAB Function 来代替 VCO 的功能。代码如下：

function y = VCO(u)
%#codegen

persistent theta

if isempty(theta)
    theta = 0;
end

%% 参数
Ts = 1/150e3/100;      % 仿真步长(s)
Kv = 1;         % Input sensitivity (Hz/V)
fc = 0;         % Center frequency (Hz)
A  = 1;         % Output amplitude (V)

%% 当前频率
f = fc + Kv*u;

%% 相位积分
theta = theta + 2*pi*f*Ts;

%% 防止相位无限增长
theta = mod(theta,2*pi);

%% 输出正弦波
y = A*sin(theta);

🛠️ 仿真避坑指南：如果在运行该函数时出现报错，请右键点击该 MATLAB Function 模块，找到“模型参数（Model Parameters）”，将其中的采样时间（Sample time）强制改为 6.6667e-8 即可解决。

通过下面的波形图可以看出，当我们给 VCO 模块输入 50,000 时，它完美输出了一个频率为 50kHz、幅值为 1V 的正弦波。

VCO的输出

从正弦波到带死区的 PWM 方波

VCO 输出的是正弦波，但驱动 MOS 管需要的是方波（PWM）。怎么转换呢？

最基础的逻辑是：当正弦波 $>0$ 时输出 1，$<0$ 时输出 0。
但为了防止同一桥臂的上下管直通，我们必须加入死区时间。因此，在仿真中我们引入了 0.07 这个阈值：

当正弦波幅值 $> 0.07$ 时，驱动开关 1 和 4。
当正弦波幅值 $< -0.07$ 时，驱动开关 2 和 3。
在 $[-0.07, 0.07]$ 之间的这段时间，四个开关管全关，这自然就完美构成了 LLC 所需的死区时间。

闭环控制逻辑与安全启动机制

接下来我们看看完整的闭环仿真模型：

LLC变换器闭环仿真模型

安全启动逻辑（从最高频启动）

如果你仔细看闭环控制的左侧，会发现有一个 150e3 的常数块减去 PI 控制器的输出。这是为什么呢？

LLC 变换器在刚启动时，输出电容没有电，如果以极高的增益启动，会产生毁灭性的冲击电流。
根据 LLC 的增益特性，频率越高，增益越低。因此，系统必须从最高频率（这里设定为 150kHz）开始启动。

启动瞬间，PI 控制器输出为 0。
VCO 的输入 = $150\text{k} - 0 = 150\text{kHz}$。
此时频率最高，输出电压极低，实现了软启动。

PI 闭环负反馈调节

当实际输出电压 $V_{out}$ 小于设定的参考电压 $V_{ref}$ 时，说明需要升压。
此时误差（$V_{ref} - V_{out}$）为正，PI 控制器的输出值开始逐渐变大。
VCO 的实际输入 = 150k - PI输出。既然 PI 输出变大了，VCO 的输入数值就会变小。
开关频率变低 $\rightarrow$ LLC 谐振网络增益变大 $\rightarrow$ 输出电压升高，直到等于参考电压，系统达到稳态。

频率、电压与软开关状态的对应关系

假设我们设计的 LLC 谐振网络的主谐振频率为 50kHz，结合前文的增益曲线，我们可以清晰地得出参考电压与最终稳态频率的对应关系：

当参考电压 $V_{ref} = 40\text{V}$ 时：
这是系统设计的额定工作点。PI 调节稳定后，VCO 的输入恰好等于 50kHz。此时系统工作在谐振频率点，原边实现完美的 ZVS，副边实现完美的 ZCS。
当参考电压 $V_{ref} = 48\text{V}$ 时（需要升压）：
由于需求电压高于额定值，系统需要更高的增益。闭环调节会迫使频率下降，最终 VCO 的输入将低于 50kHz（工作在降频升压区，依然具备 ZVS 特性，且副边处于断续状态，ZCS 得以保留）。
当参考电压 $V_{ref} = 35\text{V}$ 时（需要降压）：
由于需求电压低于额定值，系统需要降低增益。闭环调节会迫使频率上升，最终 VCO 的输入将高于 50kHz（工作在高频降压区，呈现感抗分压效应）。此时原边依然能实现 ZVS，但正如我们之前分析的，副边会失去 ZCS 特性。

总结：全桥 LLC 闭环控制的核心就是利用 PI 算法动态调节 VCO 的输入频率，“需要升压就降频，需要降压就升频”，同时依靠巧妙的阈值比较生成自带死区的固定 50% 占空比的 PWM 波，从而实现高效、稳定的电能变换。